XIª OLIMPIADA MATEMÁTICA COMUNIDAD DE MADRID
AÑO 2003
Organiza: S.M.P.M. Emma Castelnuovo
Colaboran: Centros de Apoyo al Profesorado
[Convocatoria y Bases] [Problemas propuestos] [Resultados de la Olimpiada]

CONVOCATORIA

Con el fin de promover la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas a través de la resolución de problemas y del trabajo en equipo, se convocó la "X  Olimpíada Matemática para el alumnado de 2º de ESO de la Comunidad de Madrid", organizada por la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas "Emma Castelnuovo", con la colaboración de los Centros de Apoyo al Profesorado de la Comunidad de Madrid, y cuya fase final tuvo lugar el pasado sábado 30 de Mayo, en las instalaciones del C.R.I.F. "Las Acacias".

Las bases de esta convocatoria de la Olimpiada así como la ficha de Inscripición han sido envíados a socios y Centros de Apoyo al Profesorado para su distribución entre los interesados en participar.


PROBLEMAS PROPUESTOS:


FASE SEMIFINAL
PRUEBA POR EQUIPOS
Problema 1: CUADRADOS EN UN CUADRADO
Siguiendo la serie, encuentra la fracción del cuadrado grande que está sombreado cuando en él hay 5 cuadrados sombreados más pequeños. A continuación, ¿serías capaz de generalizar para el caso en el que tengamos n cuadrados sombreados?

Problema 2: EL MOSAICO
Calcula el área de las baldosas que forman el mosaico de la siguiente figura, sabiendo que el segmento AB mide 5,5 cm.

Problema 3: SEGMENTOS EN UN SEGMENTO

Fíjate en las siguientes figuras y analiza el modo en el que vamos construyendo cada una de ellas a partir de la anterior. Observarás que partiendo del segmento AB, vamos colocando cada vez un punto más en su interior.

Analiza cuántos segmentos tendremos si se colocan
n puntos en su interior.
Problema 4: CUADRADO MÁGICO CON EL DOMINÓ
Con las siguientes piezas de un dominó, forma un cuadrado con 4 filas y 4 columnas colocándolas de forma que la suma de los puntos en cada línea horizontal, vertical o en cualquiera de las diagonales sumen 19.

PRUEBA POR EQUIPOS
Problema 1: BUSCA EL EJE DE SIMETRÍA

Problema 2: EL NÚMERO DECIMAL
Determina razonadamente qué cifra ocupa la posición número cincuenta de la parte decimal del número que representa la fracción 5/27.
Problema 3: CURIOSA MULTIPLICACIÓN
Analiza el producto de números de dos cifras (unidades y decenas), en aquellos casos en los que la cifra de las decenas de ambos números sea la misma, y las cifras de las unidades sumen diez.
Describe cómo podríamos obtener el resultado de la multiplicación de números que cumplen estas características, sin necesidad de realizar el conocido algoritmo o la calculadora.
Problema 4: LA CENTRAL ELÉCTRICA
A continuación te presentamos una central eléctrica vista desde tres posiciones distintas:

Vista norte              Vista Oeste                               Vista Este


FASE FINAL
PRUEBA POR EQUIPOS
Problema 1: SUMA DE FRACCIONES
Obtener la expresión general que nos permite conocer la suma de los
n primeros términos de la siguiente serie:
A partir de este resultado, ¿podéis averiguar sin necesidad de hacer la correspondiente suma de fracciones, cuánto sumarían los 10 primeros términos de la serie?

Problema 2: EL CUBO
Pintamos un cubo de color azul y después lo cortamos en 3x3x3 = 27 cubitos tal y como se muestra en la figura.
Cuántos de estos cubos más pequeños tendremos:
- con una cara pintada de azul.
- con dos caras pintadas de azul.
- con tres caras pintadas de azul.
- sin caras pintadas de azul.
Si después de pintar el cubo lo cortáramos en 4x4x4 = 64 cubitos, ¿cuántos tendrían ahora una, dos, tres o ninguna cara pintada?
Trata de generalizar lo anterior para el caso en el que cortemos el cubo en
nxnxn=n3 cubitos.

Problema 3.
Sobre la trama ortogonal que os presentamos en la siguiente figura, hemos dibujado una serie de polígonos, algunos de ellos tienen un número y otros tienen una letra. Analizar en primer lugar aquellos en los que hemos colocado un número.
Suponiendo que el área de cada uno de los cuadraditos de la trama es de 1 cm², tratar de encontrar la expresión que relaciona el área de cualquiera de esos polígonos con la cantidad de puntos que están sobre el perímetro del polígono y con los que quedan en su interior.
Una vez que hayáis encontrado esa fórmula, utilizarla para calcular el área de los polígonos que tienen una letra.
Problema 4.
La figura que os presentamos, representa la planta de una fortaleza que tiene nueve celdas redondas vigiladas por cuatro guardianes y en la que se encuentran presos 45 prisioneros. Tal y como puede observarse, cada uno de los cuatro guardianes (G1, G2, G3 y G4) vigila un patio que tiene forma de triángulo equilátero y su trabajo consiste en vigilar todas las celdas que dan a ese patio.
De lo que se trata, es de colocar a los 45 prisioneros de la fortaleza en las nueve celdas, de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
- Ninguna de las celdas puede estar vacía.
- Cada uno de los guardianes tiene que vigilar exactamente a 17 prisioneros.
- La cantidad de prisioneros que haya en cada una de las celdas tiene que ser distinta a la de las demás.

PRUEBA INDIVIDUAL
Problema 1: ADIVINA EL NÚMERO
Seguro que alguna vez has jugado a adivinar números. Te proponemos el siguiente juego: piensa un número, súmale uno, multiplica el resultado por dos, súmale tres, réstale cuatro y por último suma a ese resultado el número que has pensado multiplicado por cinco. Supón que el número que has obtenido al final de hacer todas estas operaciones es el 36, con lo que nosotros te aseguramos que, sin ninguna duda, el número que tú habías pensado al principio era el 5.
Trata de descubrir el razonamiento que hemos seguido para adivinar el número que habías pensado.
A partir de lo que hayas averiguado, describe con tus propias palabras qué estrategia tendríamos que seguir para, en el caso de proponerle este juego a otra persona, adivinar el número que ha pensado al principio.
Problema 2: LOS CILINDROS
Determina cuál de los dos cilindros que te describimos a continuación tiene un volumen mayor. El primero es el doble de alto que el segundo, mientras que el radio del segundo es una vez y media mayor que el del primero.
Problema 3: JUEGA CON LAS CIFRAS Y LAS OPERACIONES

A continuación, te damos un ejemplo de cómo empleando las operaciones básicas, es decir, la adición, sustracción, multiplicación y división, podemos obtener el número 30 utilizando tres cifras iguales:
30 = 5 · 5 + 5 "Jugando" con las cifras y las operaciones, obtén:
- El número 30 utilizando tres cifras iguales (que no sean el 5)
- El número 100 empleando cuatro veces la cifra 9
- El número 34 empleando cuatro veces la cifra 3
- El número 31 utilizando solamente la cifra 3 tantas veces como necesites.
Problema 4: LA FLECHA
En relación a la figura anterior podemos decirte que:
- El lado del cuadrado
LMNO, tiene una longitud de 20 dm.
-
A, B, C y D, son los puntos medios de cada uno de sus lados.
Sabiendo esto, halla la superficie sombreada que se ha obtenido al trazar los segmentos
LC y MC y las diagonales LN y MO.


GANADORES

Los resultados fueron los siguientes:

MEJORES CLASIFICADOS
ALUMNO/A CENTRO
Diego Sáez Hernando Colegio Menesiano
Eduardo García-Junceda del Río Colegio Bernadette
Alberto Muñoz Arancón Colegio Joyfe
Francisco Plata I.E.S. Jaime Ferrán Clúa
Guillermo Pinilla Piris I.E.S. San Juan Bautista
Alejandro Armellas Bello I.E.S. Ciudad de los Poetas
Sandra García I.E.S. Ciudad de los Poetas
Sara Chaparro Olmo I.E.S. San Nicasio
Roberto Asín I.E.S. Duque de Rivas
Marta Larragueta Scuola Media Italiana

Estos son los diez alumnos mejor clasificados en la Fase Final de la Olimpiada Matemática de la Comunidad de Madrid. Los tres primeros son los representantes de la Comunidad de Madrid en la Fase Nacional de la XIV Olimpiada Matemática Nacional organizada por la Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas "A prima", siendo ésta una de las actividades que se engloba dentro del programa de actividades de la Federación Española de Profesores de Matemáticas.