La fase semifinal de la XIX Olimpiada Matemática para alumnos de 2º ESO de la Comunidad de Madrid tuvo lugar el jueves 24 de marzo en las diferentes sedes dispuestas para este fin.

En esta fase participaron 208 grupos pertenecientes a 66 Centros Educativos de nuestra Comunidad. Tuvieron que resolver cuatro problemas de forma individual y otros cuatro problemas en grupos mixtos de tres alumnos.

Problemas propuestos:


Problemas individuales:

TENER ESTRELLA

Cuando dos triángulos equiláteros de igual medida comparten un centro común, su unión puede formar una estrella, como se muestra en el dibujo. Si su intersección es un hexágono regular con un área de 60 cm2, ¿cuál es el área de cada uno de los triángulos equiláteros originales?

ESTRELLA

 

 

PILLANDO AL MENTIROSO

Tenemos dos amigos, Pablo y Julia, un poco aficionados a las mentirijillas. Uno de los dos siempre miente los lunes, martes y miércoles, y dice la verdad el resto de días de la semana. La otra persona miente los jueves, viernes y sábados, y dice la verdad los otros días de la semana. Cierto día por la tarde, los dos tuvieron la siguiente conversación:

Pablo: Miento los sábados.

Julia: Yo mentiré mañana.

Pablo: Miento los domingos.

¿En qué día de la semana tuvo lugar esta conversación?

 

FALSOS LADRILLOS

 En el revestimiento de paredes se utilizan en muchas ocasiones lo que denominamos falsos ladrillos o galletas.. Son tiras rectangulares todas iguales, hechas del mismo material que los ladrillos.

LADRILLOS

Quiero revestir una superficie de 80cm de longitud. Como tengo pocas galletas tendré que dejarlas bastante separadas. En cada hilera, la distancia de separación entre ellas será siempre la misma.

¿Cuál debe ser  la longitud, en cm, marcada con un interrogante?

LADRILLOS1


A CUESTAS CON LA BASCULA

bascula     

    Si me subo con mi madre en una báscula, entonces pesamos entre   los dos 103 kg, y si me subo con mi padre, entonces pesamos entre  los dos 113 kg.       

       Si mi padre y mi madre juntos pesan 126 kg, entonces ¿cuántos kilos pesamos los tres juntos?¿cuánto pesamos cada uno?

 

 

 

Problemas en grupo:

COLABORACIÓN FAMILIAR

            Samuel y Nuria son dos hermanos que colaboran en las tareas de su casa. Tienen asignado lavar el coche familiar un fin de semana cada uno. Si Samuel lava el coche emplea 30 minutos, mientras que si lo hace su hermana hermana Nuria, esta emplea 45 minutos.                                                                                                   Este  fin de semana tienen una fiesta de cumpleaños y Nuria ha  decidido   ayudar a su hermano para ir juntos a la fiesta cuanto antes.                                                                                                                   ¿Cuánto tiempo emplearán en  lavar el coche entre los dos?


ELIGE ASCENSOR


           En nuestro bloque tenemos instalados dos ascensores. El más antiguo tarda dos minutos en ir de un piso a otro, mientras el nuevo tarda sólo un minuto.
           Esta mañana, a las diez, iniciaron la bajada los dos al mismo tiempo desde el sexto piso hasta el vestíbulo situado en la planta cero.
ASCENSOR1           El  primer ascensor que llegaba a un piso  tenía que parar y estar detenido  tres minutos para que subiesen o bajasen los pasajeros.
          ¿Qué ascensor llegó antes al vestíbulo, situado en la planta 0?  ¿Cuánto tardó?

 


                         CONSTRUIR A PARTIR DE LO YA CONSTRUIDO

Supongamos que tenemos un caminito recto con una anchura de dos metros. Queremos recubrirlo usando unas losas de forma rectangular  , de forma que no sobre ni falte nada. Inicialmente, si queremos embaldosar 1 m de camino solo hay una posibilidad, poner la baldosa como se indica en el dibujo:


CAMINO1

Si ahora queremos cubrir 2 m de camino, hay dos posibilidades:


CAMINO2

Seguro que sabes cómo continúa esto, ahora querríamos cubrir 3 m de camino…


CAMINO3

…y así sucesivamente.

¿De cuántas formas podemos  recubrir 4 m de camino? ¿Y 5 m?
Observa muy atentamente los números que vas obteniendo, ¿podrías llegar a saber de cuántas formas se pueden embaldosar 10 m de camino sin necesidad de dibujarlas?

 


                                    LOS DIENTES DE LAS SIERRAS


Disponemos de los siguientes tipos de sierra de cortar:

SIERRAS

            Los dientes de las sierras tienen la misma forma (son triángulos rectángulos semejantes)                y                                
        - las dimensiones de los dientes de la sierra 2 son la mitad de las dimensiones de los dientes de       la  sierra 1,       
        - las dimensiones de los dientes de la sierra 3 son la mitad de las dimensiones de los dientes de      la sierra 2,
        Con la información anterior y las longitudes representadas en los dibujos de las sierras, responde    a las cuestiones siguientes:
1. ¿Cuál es el perímetro de cada una de las sierras?
2. ¿Cuál es el área de cada una de las sierras