Seccións cónicas

Se presenta una superficie cónica ilimitada cuyas geratrices forman un ángulo α con su eje. El plano sección pasa por un punto libre W, y forma un ángulo β con el eje de la superficie cónica. Al variar β, el plano seccion gira en torno a un eje paralelo al eje OY y que pasa por el punto W.

E el panel de la derecha se muestra el plano de la sección.

Puede activarse/pararse la animación del punto P con control de la esquina inferior izquierda.

Se puede cambiar la  posición del punto W, mostrando los ejes y arrastrándolo hasta uno de los puntos verdes, todos en el plano y = 0. La gráfica puede moverse, rotarse y ampliarse y reducirse. La sección, en la vista del plano

β

α

Mostrar ejes

α

β

Def. F-d

Def  F-F'

¡La \space  parábola  \space tiene \space  un  \space solo \space  foco!

listaW: {(3, 0, -3), (3, 0, -2), (3, 0, -1), (3, 0, 0), (3, 0, 1), (3, 0, 2), (3, 0, 3), (2, 0, -3), (2, 0, -2), (2, 0, -1), (2, 0, 0), (2, 0, 1), (2, 0, 2), (2, 0, 3), (1, 0, -3), (1, 0, -2), (1, 0, -1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2), (1, 0, 3), (0, 0, -3), (0, 0, -2), (0, 0, -1), (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 0, 3), (-1, 0, -3), (-1, 0, -2), (-1, 0, -1), (-1, 0, 0), (-1, 0, 1), (-1, 0, 2), (-1, 0, 3), (-2, 0, -3), (-2, 0, -2), (-2, 0, -1), (-2, 0, 0), (-2, 0, 1), (-2, 0, 2), (-2, 0, 3), (-3, 0, -3), (-3, 0, -2), (-3, 0, -1), (-3, 0, 0), (-3, 0, 1), (-3, 0, 2), (-3, 0, 3)}
β = 1.0471975511965976 rad (slider from 0 to 90*°, step 1*°)
α = 0.7853981633974483 rad (slider from 1*° to 89*°, step 1*°)
V = (0, 0, 0)
b_1 = Line(V, (0, 0, 1))
d_1 = Line(V, Vector[((-sin(α)), 0, cos(α))])
Oxz = OrthogonalPlane(V, yAxis)
W = Point(listaW)
e = Line(W, Vector[((-sin(β)), 0, cos(β))])
b_2, c_2 = AngularBisector(e, d_1)
w = ConeInfinite(V, zAxis, α)
v: (cos(β), 0, sin(β))
ω = OrthogonalPlane(W, v)
c_3 = IntersectPath(ω, w)
A_1 = Intersect(ω, zAxis)
B: A_1 + (0, 0, 1)
C: A_1 + ((-sin(β)), 0, cos(β))
γ = Angle(C, A_1, B)
D: V + (0, 0, 1)
E: V + ((-sin(α)), 0, cos(α))
δ = Angle(E, V, D)
dex: (v * Vector[V, W]) ≟ 0
f = false
texto7: "Q = " + W + "
V = " + V + ""
d'_1 = Mirror(d_1, b_1)
A = Intersect(e, d'_1)
g = OrthogonalPlane(A, e)
h_1 = IntersectPath(ω, g)
G = Point(h_1)
i = PlanoBisec(G, A, W, V)
H = Intersect(b_1, b_2)
j = OrthogonalLine(H, ω)
F = Intersect(j, e)
k = Sphere(H, F)
l = OrthogonalLine(H, d_1, Oxz)
I = Intersect(d_1, l)
q_1 = Circle(b_1, I)
m = OrthogonalPlane(I, b_1)
d = IntersectPath(ω, m)
P = Point(c_3)
r = Segment(P, F)
n = Line(P, V)
J = Intersect(n, q_1)
s_1 = OrthogonalLine(P, d, ω)
Q = Intersect(d, s_1)
s = Segment(P, Q)
a_1 = OrthogonalLine(P, m)
L = Intersect(a_1, m)
h = Segment(P, L)
ε = Angle(L, P, J)
ζ = Angle(Q, P, L)
exc: cos(β) / cos(α)
texto2: "β  " + (If[β  <  α, "<", If[β > α, ">", "="]]) + "  α  ⇒ "
texto6: "exc = \frac{cos(β)}{cos(α)} =  " + (LaTeX[cos(β) / cos(α)]) + ""
t = Segment(P, J)
o = false
A' = Intersect(e, d_1)
N = Intersect(b_1, c_2)
e_1 = OrthogonalLine(N, e, Oxz)
F' = Intersect(e_1, e)
k' = Sphere(N, F')
q = OrthogonalLine(N, d_1, Oxz)
O = Intersect(d_1, q)
g_1 = Circle(b_1, O)
m' = OrthogonalPlane(O, b_1)
d' = IntersectPath(ω, m')
J' = Intersect(n, g_1)
i_1 = Segment(P, J')
r' = Segment(F', P)
u = false
texto4: "" + (If[β  <  α, "Par de rectas secantes", If[β > α, "Punto", "Par de rectas paralelas coincidentes"]]) + ""
texto5: "PF = PJ, PF' = PJ' ⇒ " + (LaTeX[If[exc  <  1, "PF + PF' ", exc > 1, "|PF-PF'|"]]) + " =" + (LaTeX[If[exc  <  1, "PJ + PJ' ", exc > 1, "|PJ-PJ'|"]]) + "=JJ' = cte."
texto1: "Cónica " + (If[dex, "", "no"]) + " degenerada"
texto3: "" + (If[β  <  α, "Hipérbola", If[β > α, "Elipse", "Parábola"]] + (If[β ≟ 90°, " (circunferencia)", ""]) + (If[cos(β) / cos(α) ≟ sqrt(2), " (equilátera)", ""])) + ""
c: Distance[F, F'] / 2
a: Distance[A, A'] / 2
b = If(exc  <  1, sqrt(a^(2) - c^(2)), exc > 1, sqrt(c^(2) - a^(2)))
M: (F + F') / 2
e' = OrthogonalLine(M, e, ω)
p = Distance(F, d)
ω' = Plane(V, ω)
c_1 = IntersectPath(ω', w)
R = ClosestPoint(c_1, (3, 0, 0))
R' = Mirror(R, Oxz)
pas = Line(V, R)
pas' = Line(V, R')
as = Line(M, pas)
as' = Line(M, pas')
texto8: "\frac{d(P,F)}{d(P, d)}=\frac{d(P,J)}{d(P,Q)}=\frac{" + (LaTeX[r]) + "}{" + (LaTeX[s]) + "}=\frac{\frac{d(P,L)}{cos(α)}}{\frac{d(P,L)}{cos(β)}}=\frac{cos(β)}{cos(α)}= exc"

Tool: PlanoBisec
2 puntas arista y otros 2
Input: A, B, C, D
Output: g

a = Plane(A, B, C)
b = Plane(A, B, D)
c = IntersectPath(b, a)
d = PlaneBisector(A, B)
e = IntersectPath(d, a)
f = IntersectPath(d, b)
E = ClosestPoint(e, C)
F = ClosestPoint(f, D)
G = Midpoint(A, B)
k = AngularBisector(E, G, F)
g = Plane(c, k)