Directrices de la elipse/hipérbola
Author: Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin)
Date: 16 Febrero 2014

La elipse y la hipérbola pueden definirse como el lugar geométrico de los puntos cuyo cociente de distancias a un punto fijo F llamado foco y a una recta fija d llamada directriz, es una constante respectivamente menor o mayor que 1. Esa constante es la excentricidad. La elipse y la hipérbola tienen una directriz para cada foco.
Esta definición es similar a la usual para la parábola: lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.. La excentricidad de la parábola es entonces 1. A diferencia de elipses e hipérbolas, tiene un solo foco y una sola directriz, y no tiene centro.

El punto O es el centro de la cónica. Puedes cambiar la posición del vértice principal A y del foco F desplazándolos o cambiando los valores de a y c con los deslizadores. puedes mover manualmente el punto P o animarlo con el control de la esquina inferior izquierda.

Contesta razonadamente a las siguientes preguntas:
¿Cuándo se obtiene una elipse y cuándo una hipérbola?
¿Para que punto de la elipse y de la hipérbola la distancia al foco F es mínima?
¿Cuanto vale, en función de los parámetros de la elipse?
¿Para que punto de la elipse la distancia al foco F es máxima?
¿Cuanto vale, en función de los parámetros de la elipse?
¿Para que punto de la otra rama de la hipérbola la distancia al foco F es mínima?
¿Cuanto vale, en función de los parámetros de la hipérbola?

%n

%n

%n

Ecuación reducida

$a = d(O, A), \;  \;  \;  c = d(O, F)$
$b = d(O, B),  \;  \;  \; s = d(O, d)$

Calculo de s y e

c = 4 (slider from 0 to 10, step 0.1)
a = 5 (slider from 0 to 10, step 0.1)
O = Intersect(xAxis, yAxis)
b: sqrt(abs(a^(2) - c^(2)))
l = Segment(O, (10, 0))
B: (0, b)
A = Point(l)
A' = Mirror(A, O)
B' = Mirror(B, O)
F = Point(l)
F' = Mirror(F, O)
k = Ellipse(F', F, a)
d: x = a^(2) / c
d' = Mirror(d, O)
P = Point(k)
f = OrthogonalLine(P, d)
Q = Intersect(d, f)
g = Segment(P, F)
h = Segment(P, Q)
Q' = Intersect(d', f)
i = Segment(Q', P)
j = Segment(F', P)
texto5: "\frac{x²}{" + (LaTeX[a^(2)]) + "}" + (LaTeX[If[a > c, "+", "-"]]) + "\frac{y²}{" + (LaTeX[b^(2)]) + " }=1"
e = false
texto3: "b = " + (LaTeX[If[a > c, "\sqrt{a^2 - c^2}", "\sqrt{c^2 - a^2}"]]) + "= " + (LaTeX[b]) + ""
o = false
texto1_1: " e=\frac{  \overline{ PF }  }{ \overline{ PQ }  }  = \frac{ " + (LaTeX[g]) + " }{" + (LaTeX[h]) + "} = " + (LaTeX[g / h]) + ""
texto2_1: " e=\frac{  \overline{ PF' }  }{ \overline{ PQ' }  }  =  \frac{ " + (LaTeX[j]) + " }{" + (LaTeX[i]) + "}  = " + (LaTeX[j / i]) + ""
texto7: "P en A: $e=\frac{\overline{AF}}{\overline{AQ}}=\frac{" + (LaTeX[If[a > c, "a-c", "c-a"]]) + "}{" + (LaTeX[If[a > c, "s-a", "a-s"]]) + "}=\frac{" + (LaTeX[If[a < c, "a-c", "c-a"]]) + "}{" + (LaTeX[If[a < c, "s-a", "a-s"]]) + " }$ 
P en A': $e=\frac{\overline{A'F}}{\overline{A'Q}}=\frac{a+c }{s+a}$
$as+a²-cs-ac=$
        $as+cs-a²-ac$
$⇒ s = \frac{a²}{c}$
$ ⇒ e=\frac{a+c}{\frac{a²}{c} +a}=\frac{c(a+c)}{a(a+c)}=\frac{c}{a}$"