Segmentos determinados por las tangentes comunes de 2 circunferencias exteriores
Author: Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin)
Date: 9 Febrero 2014

La circunferencia inscrita en un triángulo es la que es tangente a los tres lados, y la exinscrita correspondiente al lado c, la que es tangente al lado c y a las prolongaciones de los otros dos.

Si tenemos dos circunferencias exteriores, la de menor radio esta inscrita en el triángulo formado por las tangentes exteriores y una cualquiera de las interiores. La de mayor radio está exinscrita en el mismo triángulo, respecto del lado definido por la tangente interior.

El segmento de tangente exterior es igual al lado que las separa, y el de tangente interior, a la diferencia de los otros lados.

De aquí se deduce que:

i) Los segmentos determinados por los puntos de tangencia en las tangentes exteriores (DJ y EK) son iguales que los determinados por las tangentes exterioresen en las tangentes interiores (AB y ML).

ii) Los segmentos determinados por los puntos de tangencia en las tangentes interiores (FG y NP) son iguales que los determinados por las tangentes interioresen en las tangentes exteriores (BL y AM).

z

z

y

y

x

x

\left\{ \begin{array}{}  \overline{ AG } \;   = \;   \overline{ AK }  \  \overline{ BG }  \;  = \;   \overline{ BJ }   \  \overline{ CK }   \; = \;   \overline{ CJ } \ \end{array}\right\}  \;  \;  \;  ===>  \;  \;   \overline{ CK }  \;  = \;   \overline{ CJ }  \;  =  \;  \frac{ a + b + c }{2 }  \; = \; x \; + \; y \; + \; z

===>  \; \left\{\begin{array} {} \overline{ AK }  \; =   \; y \  \overline{ BJ } \; = \; x  \ \end{array}\right\} \;  \; ===>   \; \;  \overline{ EK }  \; = \; \overline{ DJ }   \; = \;  \overline{ AB } \;   = \; c 

x

y

 \overline{ FG }  \; = \; |y - x|  \; = \; |(a \;  -  \; z) \;  - \;  (b \;  - \;  z)| \;  =  \; |a \;  -  \; b|

 \overline{ BL }  \; = \; |a \;  - \; b| \;  \;  \; ===>  \;  \;  \;  \overline{ FG } \; = \;  \overline{ NP }   \; = \;  \overline{ BL }   \; = \;  \overline{ AM }  

A = (-0.42, -2.5)
B = (6.7, -2.46)
C = (0.762531132783196, 3.597432215196658)
polígono1, c, a, b = Polygon(A, B, C)
d = Ray(C, A)
e = Ray(C, B)
f = Circunf_Inscrita(A, B, C)
D, E_1 = Intersect(f, a)
F = Intersect(f, c, 1)
E, G_1 = Intersect(f, b)
g, h = AngularBisector(d, c)
i, j = AngularBisector(e, c)
I_C = Intersect(g, j)
k = OrthogonalLine(I_C, c)
G = Intersect(k, c)
p = Circle(I_C, G)
J = Intersect(p, e, 1)
K = Intersect(p, d, 1)
l = Segment(C, I_C)
A' = Mirror(A, l)
B' = Mirror(B, l)
m = Segment(C, D)
n = Segment(C, E)
q = Segment(F, B)
r = Segment(B, D)
s = Segment(A, E)
t = Segment(A, F)
I = Center(f)
a_1 = Segment(B, J)
b_1 = Segment(A, K)
o = false
u = false
L = Mirror(A, l)
M = Mirror(B, l)
c' = Segment(L, M)
v = false
N = Intersect(f, c', 1)
P = Intersect(p, c', 1)
c_1 = Segment(P, N)
d_1 = Segment(B, J)
e_1 = Segment(K, A)

Tool: Circunf_Inscrita
Indica tres vértices
Input: P, Q, R
Output: p_1

i_1 = AngularBisector(P, Q, R)
j_1 = AngularBisector(R, P, Q)
k_1 = Segment(Q, P)
S = Intersect(i_1, j_1)
l_1 = OrthogonalLine(S, k_1)
T = Intersect(l_1, k_1)
p_1 = Circle(S, T)